Содержание
Предисловие к пятому изданию 8
Введение 11
Об этой книге.............................. 11
1. Зачем нужен экзамен по математике?............. 13
2. Виды и уровни сложности экзаменов.............. 15
3. Устройство сего опуса и инструкция по его применению .. 16
Слова благодарности.......................... 21
Справочник
1. Шпаргалки 25
1. Тригонометрия........................... 25
2. Уравнения и неравенства с модулями и радикалами..... 29
3. Алгебраические системы уравнений и неравенств...... 31
4. Текстовые задачи......................... 32
5. Прогрессии............................. 35
6. Показательные, логарифмические и смешанные уравнения и неравенства..................... 36
7. Производная и ее применения.................. 40
9. Теоремы об общих и прямоугольных треугольниках..... 45
10. Подобие, площади, параллелограммы.............. 46
11. Окружности и общие многоугольники............. 49
12. Геометрические места точек и задачи на построение .... 50
13. Свойства и расположение корней квадратного трехчлена .. 52
14. Реализация простейших логических операций......... 56
15. Нестандартные задачи...................... 57
16. Основные формулы стереометрии.................58
17. Векторы............................... 60
2. Некоторые доказательства 63
1. Формула корней квадратного уравнения............ 63
2. Тригонометрические формулы.................. 64
3. Метод интервалов......................... 67
4. Простейшие случаи раскрывания радикалов......... 68
5. Прогрессии............................. 70
6. Переход от показательных и логарифмических уравнений к алгебраическим................... 71
7. Общие теоремы о треугольниках................ 74
3. То, чего нет в школьной программе, а знать надо 76
1. Сравнение чисел......................... 76
2. Извлечение квадратного корня «вручную»........... 78
3. График дробно-линейной функции ............... 80
4. Деление «уголком» многочлена на многочлен ......... 81
5. Метод неопределенных коэффициентов............. 83
6. Теоремы Чевы и Менелая..................... 85
I. Подготовка к письменному экзамену
1. Тригонометрия 91
Урок 1. Сведение к квадратным уравнениям........... 91
Урок 2. Группировка и разложение на множители........ 101
Урок 3. Сведение к однородным уравнениям........... 107
Урок 4. Преобразование сумм в произведения и произведений в суммы.................. 113
Урок 5. Метод вспомогательного аргумента........... 119
Урок 6. Системы тригонометрических уравнений........ 124
Урок 7. Обратные тригонометрические функции ........ 134
2. Простейшие уравнения и неравенства 140
Урок 8. Уравнения и неравенства с модулями........... 140
Урок 9. Рациональные уравнения и неравенства......... 145
Урок 10. Уравнения и неравенства с радикалами......... 150
3. Алгебраические системы 157
Урок 11. Системы уравнений и неравенств, возникающие из текстовых задач..................... 157
Урок 12. Сложные системы уравнений ............... 163
4. Текстовые задачи 170
Урок 13. Движение........................... 170
Урок 14. Работа............................ 181
Урок 15. Смеси............................. 191
Урок 16. Оптимальный выбор и целые числа............ 199
Урок 17. Прогрессии.......................... 207
5. Более сложные уравнения и неравенства 213
Урок 18. Показательные........................ 213
Урок 19. Логарифмические...................... 218
Урок 20. Смешанная тригонометрия................. 227
Урок 21. Задачи, содержащие одновременно логарифмы,
модули, радикалы и т.п................... 235
6. Начала анализа 241
Урок 22. Вычисление производной.................. 241
Урок 23. Применения производной.................. 246
Урок 24. Касательная......................... 253
Урок 25. Плоские множества..................... 258
7. Планиметрия 268
Урок 26. Общие треугольники.................... 268
Урок 27. Прямоугольные треугольники............... 278
Урок 28. Подобие............................ 283
Урок 29. Площади........................... 294
Урок 30. Параллелограммы и трапеции............... 304
Урок 31. Окружности......................... 317
Урок 32. Общие ≥4-угольники.................... 326
Урок 33. Геометрические места точек................ 335
Урок 34. Построения циркулем и линейкой............. 346
8. Задачи с параметрами 359
Урок 35. Квадратные уравнения и неравенства.......... 359
Урок 36. Расположение корней квадратного трехчлена
в зависимости от параметра................ 367
Урок 37. Логические задачи. Необходимость и достаточность . 375
Урок 38. Более сложные логические задачи............. 389
9. Нестандартные задачи 402
Урок 39. Метод мажорант ...................... 403
Урок 40. Использование различных свойств функций ...... 410
Урок 41. Удачная подстановка или группировка ......... 419
Урок 42. Геометрический подход .................. 428
10. Стереометрия 436
Урок 43. Тривиальные задачи .................... 439
Урок 44. Вспомогательные задачи ................. 451
Урок 45. Тетраэдры.......................... 460
Урок 46. Параллелепипеды и призмы................ 476
Урок 47. Более сложные многогранники.............. 488
Урок 48. Сферы, цилиндры, конусы ................ 505
Урок 49. Векторы ........................... 522
Урок 50. Геометрические места точек ............... 531
11. Варианты вступительных экзаменов в МГУ за 1970-2006 гг. 541
1970 год ................................ 542
1971 год ................................ 549
1972 год ................................ 556
1973 год ................................ 562
1974 год ................................ 569
1975 год ................................ 577
1976 год ................................ 585
1977 год ................................ 592
1978 год ................................ 600
1979 год ................................ 607
1980 год ................................ 613
1981 год ................................ 619
1982 год ................................ 625
1983 год ................................ 631
1984 год ................................ 638
1985 год ................................ 645
1986 год ................................ 651
1987 год ............................... 658
1988 год................................ 664
1989 год ................................ 670
1990 год ................................ 675
1991 год ................................ 681
1992 год ................................ 686
1993 год ................................ 692
1994 год ................................ 697
1995 год ................................ 702
1996 год ................................ 708
1997 год ................................ 715
1998 год ................................ 722
1999 год ................................ 730
2000 год ................................ 738
2001 год ................................ 747
2002 год ................................ 757
2003 год ................................ 767
2004 год ................................ 777
2005 год ................................ 788
2006 год ................................ 798
12. Нематематические аспекты 810
1. Нештатная ситуация до начала экзамена (болезнь, опоздание и т.п.) .................... 810
2. Поведение на экзамене....................... 812
3. Оформление работы ....................... 814
4. Апелляция.............................. 815
5. Не грозит ли вам экзамен «с пристрастием»? ......... 816
II. Подготовка к устному экзамену
Полезные советы 823
1. Что такое устный экзамен .................... 823
2. Стратегия поведения ....................... 825
3. Нештатные ситуации ....................... 827
4. Апелляция.............................. 828
5. Экзамен «с пристрастием» .................... 830
1. Математические понятия и факты, которыми надо уметь пользоваться 832
1. Алгебра ............................... 832
2. Геометрия.............................. 841
2. Билеты и дополнительные задачи 849
1. Билеты по алгебре и началам анализа ............. 849
2. Билеты по геометрии ....................... 853
3. Сто тренировочных задач .................... 857
4. «Скользкие» вопросы и задачи .................. 862
5. Задачи «на засыпку»........................ 867
III. Подведение итогов
1. Выставление оценок 873
1. Варианты .............................. 873
2. Устный экзамен .......................... 888
3. Прогнозирование оценки письменного экзамена........ 890
2. Ответы, указания, решения 892
1. Домашние задания......................... 892
2. Ответы к вариантам за 1970-2006 годы ............ 926
3. Ответы к задачам устного экзамена .............. 966
Список использованной литературы 971